Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，O是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面POC；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AB⊥平面POC，由题设及图形易得OC⊥AB，PO⊥AB，再由线面垂直的判定定理得出结论即可．
（Ⅱ）欲求三棱锥P-ABC的体积，由（I）的证明知，可将棱锥的体积变为以OA，OB为高，以三角形POC为底的两个棱锥的体积和，由于AB长度已知，求出三角形POC的面积即可．

解答：解：（Ⅰ）证明∵AC=CB=PA=PB=

2

，
又O是AB的中点，AB=2
∴OC⊥AB，PO⊥AB，
又PO∩OC=0
故AB⊥平面POC（6分）
（Ⅱ）∵AC=CB=

2

，
又O是AB的中点，AB=2
∴OC⊥AB，OC=1，同理PO=1．
又PC=

2

，
∴PC²=OC²+PO²=2
∴∠POC=90°，即PO⊥OC
由图形知VP-ABC=

1

3

S△POC•AB=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

VP-ABC=VA-POC+VB-POC=

1

3

S△POC•AB=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

（12分）

点评：本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，及求棱锥的体积，利用定理证明线面垂直是最常用的方法，本题中在求棱锥体积时用到了分割法，把一个棱锥分成了两部分求体积，再求和，对于一些不规则的几何体的体积常采用这种技巧．