Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AD=2PA，E、F分别是PB、PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求直线CE与直线PD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）要证明EF∥平面PAD，我们可以证明EF与平面PAD中的直线AD平行，根据E、F分别是PB、PC的中点，利用中位线定理结合线面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）连接BD，取BD中点G，连接EG，CG，EC，根据已知中四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AD=2PA，利用中位线定理，我们可以求出EG，CG，CE的长，解三角形即可得到直线CE与直线PD所成角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）连接BD，取BD中点G，连接EG，CG，EC，
则设AB=AD=2PA=2
EG=

1

2

PD=

5

2

，
CG=

2

，CE=

21

2

∴cos∠CEG=

3 105

35

，
∴直线CE与直线PD所成角的余弦值

3 105

35

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，求两条异面直线的夹角时，我们可以使用平移法，将两条异面直线平移到同一三角形中，然后解三角形即可求出答案．