Question

【题目】如图，抛物线：的焦点为，以为直角顶点的等腰直角的三个顶点，，均在抛物线上.

（1）过作抛物线的切线，切点为，点到切线的距离为2，求抛物线的方程；

（2）求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设出过点的抛物线的切线的方程，联立抛物线的方程，消去得关于的方程，利用△以及到切线的距离，求出的值即可；

（2）由题意设直线的方程，联立抛物线方程，得关于的方程，利用根与系数的关系，以及，求得面积的最小值．

（1）过点的抛物线的切线：，

联立抛物线：，得，

，即.

∵，到切线的距离为，

化简得，∴，

∵，∴，得，

∴，∴抛物线方程为.

（2）已知直线不会与坐标轴平行，设直线：，

联立抛物线方程得，

则，，

同理可得；

∵，即，

∴，即，

∴.

∵（当且仅当时，等号成立），

（当且仅当时等号成立），

故，面积的最小值为.