Question

求证：,n≥2,n∈N.

Answer 1

思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,,共三项，而不是只增加一项.

证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=+++＞，不等式成立.

（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k∈N)时命题成立，即.

则当n=k+1时，

=

＞

＞.

所以当n=k+1时，不等式也成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N^*均成立.

误区警示

    错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.