题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明： $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．…（1分）
∵函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴ $\text{[math]}$ ，…①且f（s）= $\text{[math]}$ …．②…（2分）
联立①②得c=e， $\text{[math]}$ ．…（3分）
∴ $\text{[math]}$ ．…（4分）
（Ⅱ）证明： $\text{[math]}$ ．
∵函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为： $\text{[math]}$ ，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程 $\text{[math]}$ …．③的解．…（5分）
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
解g′（t）＞0得 $\text{[math]}$ ，g′（t）＜0得 $\text{[math]}$ ．
∴函数y=g（t）在 $\text{[math]}$ 递减，在 $\text{[math]}$ 递增．…（7分）
∵ $\text{[math]}$ ，且函数y=g（t）在 $\text{[math]}$ 递减，
∴ $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内的唯一一个解，
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 不合题意，即 $\text{[math]}$ ．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0， $\text{[math]}$ ，函数y=g（t）在 $\text{[math]}$ 递增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t））， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
由③得 $\text{[math]}$ ，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴ $\text{[math]}$ ．
∵1＜t＜e，∴ $\text{[math]}$ ，…（11分）
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（13分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∵y=tanx在 $\text{[math]}$ 单调递增，∴ $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（Ⅰ）求导数，利用函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴相切于点S（s，0），建立方程，即可求得函数的解析式；
（Ⅱ）先确定直线l的方程为： $\text{[math]}$ ，利用T在直线l上，可得实数t必为方程 $\text{[math]}$ ，构造函数 $\text{[math]}$ ，确定函数的单调性，从而可得 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内的唯一一个解，由此可证结论；
（Ⅲ）先证明 $\text{[math]}$ ，利用y=tanx在 $\text{[math]}$ 单调递增，即可证得结论．
点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想．