Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+l，设b_n=a_n+1-2a_n，
(Ⅰ)证明数列{b_n}是等比数列；
(Ⅱ)数列{c_n}满足（n∈N*），设Tn=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+...+c_nc_n+1，若对一切n∈N*不等式4mT_n>（n+2）c_n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由于，   ①
当n≥2时，，       ②
①-②，得，
所以，，
又，
所以，，
因为，且，
所以，，
所以，，
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，，
则，


，
由，得，
即，
所以，，
所以，，
设，
可知f（x）在[1，+∞)为减函数，
又，
则当n∈N*时，有，
所以，，
故当时，恒成立。