Question

已知函数f（x）=x³-

3

2

x²+8．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），分别解出f′（x）＞0，与f′（x）＜0，即可得出单调区间；
（2）令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=1，把x在（0，2）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况列出表格即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
当f′（x）＞0，即3x（x-1）＞0时，解得x＜0或x＞1．
当f′（x）＜0，即3x（x-1）＜0时，0＜x＜1．
因此，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（1，+∞）；单调递减区间为（0，1）．
（2）令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=1
当x在（0，2）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	15 2	单调递增

∴当x=1时，f(x)有极小值f(1)=

15

2

，
又f（0）=8，f（2）=10，
因此，f（x）在区间[0，2]上的最大值是10；最小值是

15

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．