Question

【题目】已知椭圆C：的右焦点坐标为，且点在C上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线l与C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线AP的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可求出的值，可得椭圆的方程；

（2）当直线l的斜率为0时，AP的斜率，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆，设，，，可得直线AP的斜率关于的表达式，由基本不等式可得斜率k的取值范围.

解：（1）由题得，解得．

所以，椭圆C的方程为．

（2）当直线l的斜率为0时，AP的斜率．

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，

联立方程组，得．

设，，，则，

所以，则，

而点A的坐标为，

所以直线AP的斜率为．

①当时，．

②当时，．

因为，所以，

从而且．

综上所述，斜率k的取值范围是．