Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）经过点（0， ），离心率为 ，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=﹣ x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足 = ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得 ，
解得 ，c=1，a=2．
∴椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．
∴圆心到直线l的距离d= ，
由d＜1，可得 ．（*）
∴|CD|=2 = = ．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
联立 ，
化为x2﹣mx+m2﹣3=0，
可得x1+x2=m， ．
∴|AB|= = ．
由 = ，得 ，
解得 满足（*）．
因此直线l的方程为
【解析】（Ⅰ）由题意可得 ，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得|CD|=2 ．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|= ．由 = ，即可解得m．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．