Question

(本小题满分14分)

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………3分

设点的坐标为，由，有，

代入，得．           …………………………5分

（2）(法一)设直线的方程为，、，

则，．                ………………………………6分

由，得， 同理得．…………………………8分

，，则．  ………9分

由，得，．   ……………………11分

则．           …………………………13分

因此，的值是定值，且定值为．         …………………………………14分

 (法二)①当时， 、，则，   ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

．  ………………………………………7分

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得．   …………………………………10分

由，得，．……………………11分

则．           …………………………13分

因此，的值是定值，且定值为．         …………………………………14分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想．