题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，顶点
在底面的射影恰好是菱形对角线的交点
，且
，
，
，
，其中
.
（1）当
时，求证：
；
（2）当
与平面
所成角的正弦值为
时，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）先证明
面
，再证明
；（2）以
为坐标原点，
为
轴正方向，
为
轴正方向，
为
轴正方向，建立空间直角坐标系，由
与面
所成角的正弦值为
得到
.再利用向量法求二面角
的余弦值.
解：（1）∵顶点
在底面
的射影是，
∴
面，由
面，∴
.
∵
，
，
，连
，
∴
，
，
，
，
∴
，则
，∴
.
由，，∴面，
由
面，∴
，
∵菱形，
，
∴.
（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
∵
，则
，∴
.
∵
，则
，∴
，
设面的法向量为
，由
，解得
.
由
与面所成角的正弦值为，即有
，解得.
设面
的法向量为
，由
，解得
.
∴二面角的余弦值
.
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