Question

某工厂生产主要产品后,留下大量中心角为60°,半径为a的扇形边角料,现要废物利用,从中剪裁下矩形毛坯,要求矩形面积尽可能大,请问如何裁剪?

Answer 1

解:方案一,如图,矩形有两个顶点在半径OA上,

    设∠AOP=θ,则PM=a·sinθ.

∵扇形中心角为60°,∴∠PQO=120°.

    由正弦定理,得=,

∴PQ=·a·sin(60°-θ).

    故矩形MPQR的面积为

S₁=PM·PQ=a²·sinθ·sin(60°-θ)

=·a²［cos(2θ-60°)-cos60°］≤·a²·(1-)=a².

    当cos(2θ-60°)=1.

    即θ=30°时,S₁取得最大值a².方案二:如图,矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA、OB上.

    设∠AOM=θ,∠MRA=×60°=30°,∠MRO=150°,

    由正弦定理,得=.

∴RM=2a·sinθ.

    又=.

∴OR=RQ=2a·sin(30°-θ).

∴矩形MPQR的面积为

S₂=MR·RQ=4a²·sinθ·sin(30°-θ)

=2a²［cos(2θ-30°)-cos30°］

≤2a²·(1-)=(2-)a²,

    即在此情况下,∠AOM=15°时,可求出M点,然后作出MPQR面积为最大.

    由于S₁-S₂=a²-(2-)a²=(7-12)＞0,

    所以第一种方案能使截出的矩形面积最大,即∠AOP=θ=30°，使P取在AB弧中点,分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR,即为最大矩形.