Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求 

b

a

的取值范围；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得 f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求|AC|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）的单调区间判断出x=0是函数的极值点，利用函数在极值点处的导数值为0，列出方程求出c的值，将c的值代入导函数，令导函数为0求出方程的两个根即两个极值点，据函数的单调性，判断出根-2b3a与区间端点的关系，列出不等式组求出 

b

a

的取值范围
（2）假设存在，根据导数的几何意义，列出方程，通过判断判别式的符号得到结论．
（3）设出f（x）的三个零点，写出f（x）的利用三个根不是的解析式，将x=2代入，利用韦达定理求出A，C的距离，据（2）求出|AC|的最值．

解答：解：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d⇒f'（x）=3ax²+2bx+c
由题意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性
所以f'（0）=0
所以c=0
当c=0时，f'（x）=0的另一个根为x=-

2b

3a

f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
所以2≤-

2b

3a

≤4，
所以-6≤

b

a

≤-3
由题意得：f（x）=ax³+bx²+d=0的三个不同根为2，x_A，x_C
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二个不同根为x_A，x_C，
所以

△=(2a+b)(b-6a)＞0

，
解得

b a ＞6或 b a ＜-2

综上得：-6≤

b

a

≤-3…（5分）
（2）假设在函数f（x）的图象上存在一点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M的切线斜率为3b
则 f'（x₀）=3b?3ax₀²+2bx₀-3b=0有解（*）
令t=

b

a

⇒-6≤t≤-3，a，b≠0
得：△=4a²（t²+9t）=4a²t（t+9）＜0与（*）矛盾
在函数f（x）的图象上不存在一点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M的切线斜率为3b…（10分）
（3）由（1）得：

|AC|2=(xA-xC)2=(xA+xC)2-4xAxC |AC|2= 1 a2 [(2a+b)2-8a(2a+b)] |AC|2=t2-4t-12=(t-2)2-16∈[9，48]

…（14分）
所以3≤|AC|≤4

3

点评：本题考查极值点处的函数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反；解决二次方程的根的问题常用到韦达定理．