Question

（理） 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f′（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，故x²-3x+lnx+b=0，设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g（x），g（x）的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）f′（x）=1-

1

x+a

，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x²+b    
∴x-lnx+2x=x²+b，∴x²-3x+lnx+b=0
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	b-2+ln2

∴当x=1时，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（

1

2

）=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根
∴

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

b- 5 4 -ln2≥0 b-2＜0 b-2+ln2≥0

，∴

5

4

+ln2≤b＜2

点评：本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度