Question

如图，双曲线C的渐近线是2x±3y=0，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的方程．

Answer 1

分析：分焦点在 x轴上和焦点在 y轴上2种情况，分别根据渐近线方程、2顶点间的距离求出实半轴、虚半轴的长，写出标准方程．

解答：解：当焦点在x轴上时，∵双曲线C₁的渐近线是2x±3y=0，∴

b

a

=

2

3

，
∵两顶点间的距离为6，∴a=3，b=2，
∴双曲线的方程是

x2

9

-

y2

4

=1．
当焦点在y轴上时，∵双曲线C₁的渐近线是2x±3y=0，∴

a

b

=

2

3

．
∵两顶点间的距离为6，∴a=3，b=

9

2

，
双曲线的方程是

y2

9

-

4x2

81

=1．
综上，双曲线的方程为：

x2

9

-

y2

4

=1，或

y2

9

-

4x2

81

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．