Question

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂            ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；     ④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称；
⑤当x∈[-

π

6

，

π

3

时，f（x）的值域为[-

3

4

，

3

4

]．
其中正确的命题为（　　）

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④

Answer 1

由题意可得：f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，
①f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不满足x₁=-x₂，所以①错误．
②根据周期公式可得：f（x）=

1

2

sin2x的周期为π．所以②错误．
③f（x）=

1

2

sin2x的单调增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，（k∈Z），显然③正确．
④f（x）=

1

2

sin2x的所有对称轴为x=

kπ

2

+

π

4

，显然④正确．
⑤f（x）=

1

2

sin2x，因为x∈∈[-

π

6

，

π

3

]时，所以2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，所以sin2x∈[-

3

2

，1]，所以f（x）的值域为[-

3

4

，2]．所以⑤错误．
故选D．