Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（

1

2

）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）可根据条件将f（x）+f（2-x）＜2转化为：f（x（2-x））＜f（

1

2

），再利用f（x）是在（0，+∞）上的单调递减函数，列出不等式组即可求得其解集．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（x）+f（2-x）＜2，又f（

1

2

）=2，
∴f（x（2-x））＜f（

1

2

）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 2

解得2-

2

＜x＜2．
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集为：{x|2-

2

＜x＜2}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，注重函数单调性的考查，属于中档题．