Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有S_n=n²+

1

2

a_n．
（1）证明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设f（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）..（1-

1

an

）

2n+1

，求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n=n²+

1

2

a_n．可得到S_n+1=（n+1）²+

1

2

a_n+1．两式作差即可．
（2）由a_n+1+a_n=4n+2变形转化为a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）求解．
（3）由（2）将f（n）=（1-

1

2

）（1-

1

4

）（1-

1

6

）…（1-

1

2n

）

2n+1

化简，再用作商法比较证明其单调性．

解答：解：（1）∵S_n=n²+

1

2

a_n．①
∴S_n+1=（n+1）²+

1

2

a_n+1．②
∴②-①得：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）∵a_n+1+a_n=4n+2；
∴a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）；
又a₁=2
∴a_n=2n
（3）∵f（n）=（1-

1

2

）（1-

1

4

）（1-

1

6

）…（1-

1

2n

）

2n+1

∴

f(n+1)

f(n)

= 

4n2+8n+3 4n2+8n+4

 ＜1
∴f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．

点评：本题主要考查了数列的通项与前n项和间的关系，其通项公式的求法以及数列单调性的证明，同时，还考查了转化思想和运算能力，分析问题的能力，属中档题．