Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是 ． （填写所有正确命题的序号） ①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜ ；
②若a+b＞2c，则0＜C＜ ；
③若a4+b4=c4 ． 则△ABC为锐角三角形；
④若（a+b）c＜2ab，则C＞

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①若sinAsinB=2sin2C，由正弦定理可得：ab=2c2 ， 由余弦定理可得：c2= =a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC= ﹣ ≥ ，
则0＜C＜ ，命题正确；
②a+b＞2ccosC= ＞ ≥ × ﹣ ≥ ＞ C＜ ，故②正确；
③∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4=c4 ，
∴（a2+b2）2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2 ．
∴（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0．
又 （a2+b2）2﹣c4 =（a2+b2+c2）（a2+b2﹣c2），
∴（a2+b2﹣c2）＞0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosC= ＞0，故角C为锐角．
再由题意可得，c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，
∴△ABC是锐角三角形，命题正确；
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜ ＜ ，故④错误；
所以答案是：①②③．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．