Question

设函数，若有且仅有一个正实数x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正实数t成立，则x₀=________．

Answer 1

2
分析：有且仅有一个正实数x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正实数t成立?有且仅有一个正实数x₀，使得g（t）_min≥0．利用导数即可取得g（t）的最小值，解出即可．
解答：由h₄（x₀）≥h_t（x₀）化为，即．
令g（t）=．
有且仅有一个正实数x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正实数t成立?有且仅有一个正实数x₀，使得g（t）_min≥0．
由，令g^′（t）=0，解得．
由g^′（t）＞0，解得；由g^′（t）＜0，解得．
∴g（t）在上单调递减；在上单调递增．
因此g（t）在取得极小值，也即最小值．
∴=．
由，化为，
∵x₀＞0，∴当且仅当x₀=2时上式成立．
故答案为2．
点评：把问题正确转化和掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．