Question

过抛物线y²=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=

1

2

，则直线l的倾斜角θ(0＜θ≤

π

2

)等于（　　）

• A．

  π

  2

• B．

  π

  3

• C．

  π

  4

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：设A（a，b）B（c，d），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x-1），联立方程

y=k(x-1) y2=4x

而

1

AF

-

1

BF

=

1

a+1

-

1

c+1

=

c-a

a+c+ac+1

结合方程的根与系数关系可求k，结合 θ∈（0，

π

2

） 可求

解答：解：由题意可得直线AB的斜率K存在
设A（a，b）B（c，d），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1) y2=4x

整理可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴a+c=

4

k2

+2，ac=1
∴a-c=

(a+C)2-4ac

=

4 1+k2

k2

；
∵

1

|AF|

-

1

|BF|

=

1

a+1

-

1

c+1

=

c-a

ac+a+c+1

=

1+k2

1+k2

=

1

2

∴k=

3

或 k=-

3

∵θ∈（0，

π

2

）∴k=

3

，θ=

π

3

故选：B．

点评：本题主要考查了抛物线y²=2px（p＞0）的焦半径公式PF=x+

p

2

的应用及直线与抛物线相交关系中方程的根与系数关系的应用