Question

（2012•大连二模）已知椭圆x²+3y²=4左顶点为A，点B、C在椭圆上，且AB⊥AC．
（I）求证：BC恒过轴上一定点；
（II）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）由于BC斜率不为0，可设BC方程为my=x-n，与椭圆联立得：（m²+3）y²+2mny+n²-4=0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韦达定理结合AB⊥AC，可得n²+3n+2=0，从而可求得n=-1；
（II）将△ABC面积的面积转化为△ABM与△ACM的面积之和，从而有S=

1

2

|y₁-y₂|=

4m2+9

m2+3

，进一步可转化为S=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，利用二次函数的性质即可求得其最大值．

解答：解：（Ⅰ）显然BC斜率不为0，所以可设BC方程为my=x-n，
与椭圆联立得：（m²+3）y²+2mny+n²-4=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
所以y₁+y₂=-

2mn

m2+3

，y₁y₂=

n2-4

m2+3

．①…（2分）
因为AB⊥AC，
所以（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（m²+1）y₁y₂+（mn+2m）（y₁+y₂）+n²+4n+4=0，②…（4分）
①带入②化简可得n²+3n+2=0，即n=-1或-2（舍）．
所以BC恒过定点M（-1，0）…（6分）
（Ⅱ）∵A（-2，0），BC恒过定点M（-1，0），
∴△ABC面积S=

1

2

|y₁-y₂|×|AM|
=

1

2

|y₁-y₂|×1
=

4m2+9

m2+3

=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，…（9分）
设t=

1

m2+3

∈（0，

1

3

]，所以S=

4t-3t2

，当t=

1

3

时，S最大．
即m=0时S最大为1．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，突出考查直线恒过定点问题，考查通过转化思想求三角形面积，考查综合运算能力，属于难题．