题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $数学公式$ ，则b的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可；由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，然后利用均值不等式求出答案．
解答：由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此 cosB= $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得accosB= $\text{[math]}$ ，
又cosB= $\text{[math]}$ ，故ac=4，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²≥2ac=8，（当且仅当a=b时取“=”号），
∴b²≥ $\text{[math]}$ ac= $\text{[math]}$
所以b的最小值为 $\text{[math]}$ ．
故选C
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．