题目内容

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且 $数学公式$ ．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求数列 $数学公式$ 的前n项和为S_n．

（1）解：当n=1时，有 $\text{[math]}$ ，由于a_n＞0，所以a₁=1．
当n=2时，有 $\text{[math]}$ ，将a₁=1．代入上式，由于a_n＞0，，所以a₂=2．
（2）解：由于 $\text{[math]}$ ，①
则有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． ②
②-①，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
由于a_n＞0，所以 $\text{[math]}$ ③
同样有 $\text{[math]}$ n≥2，④
③-④，得 $\text{[math]}$ ．所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1．
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令n=1，2可以求a₁=1，a₂=2．
（2）由已知可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，两式相减，结合a_n＞0可求得 $\text{[math]}$ ，则可得 $\text{[math]}$ ，n≥2，两式相减整理可得a_n+1-a_n=1，从而可得数列{a_n}是等差数列，可求
（3）由（2）知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用裂项可求和
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，及构造等差数列求解通项公式，还考查了裂项求解数列的和，要注意 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 中的系数 $\text{[math]}$ 不要漏掉