Question

已知圆C：x²+y²+2x-8y+9=0．
（I）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
（II）从圆C外一点P（x₀，y₀）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer 1

分析：（I）由已知中圆C：x²+y²+2x-8y+9=0，圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，由于原点在圆内，可得切线的斜率为-1，进而求出切线的方程．
（II）由从圆C外一点P（x₀，y₀）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，可当|PM|取得最小值时，PC与直线2x-8y+9=0垂直，进而得到点P的坐标．

解答：解：（I）⊙C的方程化为：（x+1）²+（y-4）²=8，显然O（0，0）在圆外．
若截距相等且不为0，可设切线l的方程为：

x

a

+

y

a

=1，即：x+y-a=0．
则圆心C（-1，4）到切线l的距离为：d=

|-1+4-a|

2

=

|a-3|

2

=2

2

∴|a-3|=4
即：a=7或a=-1．
此时切线l的方程为：x+y-7=0，或x+y+1=0．
当截距相等且均为0时，可设切线l的方程为：y=kx，即kx-y=0．
则圆心C（-1，4）到切线l的距离为：d=

|-k-4|

k2+1

=2

2

∴7k²-8k-8=0，得：k=

8± 64+4•7•8

14

=

4±6 2

7

∴此时，切线的方程为y=

4+6 2

7

x或y=

4-6 2

7

x
综上，切线的方程为：x+y-7=0，或x+y+1=0，或y=

4+6 2

7

x或y=

4-6 2

7

x
（II）依题意，|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x₀+1）²+（y₀-4）²-（2

2

）²，
由|PM|=|PO|，
∴（x₀+1）²+（y₀-4）²-（2

2

）²=x₀²+y₀²，
即：2x₀-8y₀+9=0
即，点P的轨迹方程为：2x-8y+9=0．…10分
只有当PC与直线2x-8y+9=0垂直时，切线PM的长最小．
此时可设切线的方程为8x+2y+c=0，将C（-1，4）代入，可得c=0．
由

2x-8y+9=0 4x+y=0

即

x=- 9 34 y= 18 17

即P坐标为（-

9

34

，

18

17

）…13分．

点评：本题考查的知识点是圆的切线方程，点到直线的距离公式，其中熟练掌握切线在x轴和y轴上的截距相等的意义是解答本题的关键．