题目内容

已知函数f（x）=log₂（ax²-x+ $数学公式$ ）在[1， $数学公式$ ]上恒正，则实数a的取值范围是________．

a $\text{[math]}$
分析：根据对数函数的性质求解．函数f（x）=log₂（ax²-x+ $\text{[math]}$ ）在[1， $\text{[math]}$ ]上恒正等价于ax²-x+ $\text{[math]}$ ＞1的解集一定包含 $\text{[math]}$ ．
解答：∵函数f（x）=log₂（ax²-x+ $\text{[math]}$ ）在[1， $\text{[math]}$ ]上恒正，
依据对数函数的单调性，
∴ax²-x+ $\text{[math]}$ ＞1即2ax²-2x-1＞0的解集一定包含 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
点评：求解对数函数问题时，解题过程中要考虑对数函数的定义域．

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．