Question

某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，对生产的手套进行促销．在一年内，据测算销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系是．已知羊皮手套的固定投入为6万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入25万元．（年销售收入=年生产成本的120%+年广告费的50%）．
（I）将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（II）当年广告费投入为多少万元时，此厂的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费）．（结果保留两位小数）（参考数据：，）

Answer 1

【答案】分析：（I）手套的年成本为（25S+6）万元，年销售收入为（25S+6）×120%+x•50%，年利润为L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，整理即得；
（II）由利润函数L的解析式，利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0），可得L的最大值．
解答：解：（I）由题意知，羊皮手套的年成本为（25S+6）万元，
年销售收入为（25S+6）×120%+x•50%，
年利润为L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，
即．
又，所以．
（II）由（I）知，=．．
当且仅当，即时，L有最大值21.73．
因此，当年广告费投入约为4.47万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为21.73万元．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值．