Question

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（2）令导函数大于等于0在（0，+∞）上恒成立，由于对称轴在区间内，令判别式小于等于0，求出a的范围．1-ax²-2x

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∝），f′（x）=

1

x

-ax-2，∵f（x）在x=2处取得极值，
即f'（2）=

1

2

-2a-2=0，a=-

3

4

经验证，符合题意．
（2）函数f（x）在定义域内单调递增，则f′（x）=

1

x

-ax-2≥0在（0，+∞）上恒成立，

1-ax2-2x

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，1-ax²-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．a≤-1

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．