Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（1）=0
（1）若c=1，解不等式f（x）＞0
（2）若a＞b＞c，设方程f（x）=0的最小根为x₀，确定a，c的符号并求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：由f（1）=0得到a，b，c的关系．
（1）由c=1，把b用a表示，代入f（x）＞0得到关于x的一元二次不等式，然后对参数a讨论求解不等式的解集；
（2）由a+b+c=0，a＞b＞c确定a，c的符号，把b=-a-c代入方程f（x）=0后求得x0=

c

a

，然后根据a，c的范围得到x₀的范围．

解答：解：∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
（1）∵c=1，∴b=-a-1，
由f（x）＞0，得ax²-（a+1）x+1＞0，
即（ax-1）（x-1）＞0，
∵f（x）=ax²+bx+c为二次函数，
∴a≠0．
当0＜a＜1时，不等式解为(-∞，1)∪(

1

a

，+∞)；
当a=1时，不等式解为（-∞，1）∪（1，+∞）；
当a＞1时，不等式解为(-∞，

1

a

)∪(1，+∞)；
当a＜0时，不等式解为(

1

a

，1)．
（2）∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a+b+c＞c+c+c，
∴c＜0，
∴a+b+c＜a+a+a，
∴a＞0，
故a＞0，c＜0，
∵f（x）=0，
∴ax²+bx+c=0，
∵a+b+c=0，
∴ax²-（a+c）x+c=0，
∴（x-1）（ax-c）=0，
∵a＞0，c＜0，∴x0=

c

a

，
∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞-a-c＞c，
∴

2a＞-c a＜-2c

，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴x0∈(-2，-

1

2

)．

点评：本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．