Question

已知：如图，ABCD是边长为2的正方形， PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。

求：点B到平面PEF的距离。

Answer 1

解析:

由BD∥EF可证DB∥平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。

方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG，

作OH⊥PG，H为垂足。

∵E、F是AB、AD中点，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF，

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，

∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG，

∵EF??面PEF，∴面PEF⊥面PCG，

∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。

由ABCD边长为2，∴AC=2，GO=，GC=，

∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC，

∴△OHG∽△PCG，∴,

由PC=2，PG=

∴OH==

即点B到平面PEF的距离为。

方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d，

由V_P-BEF=S_△BEF·PC

=××BE×AF×PC

=×1×1×2=

连AC交EF于G,连PG,由方法一知

PG=,EF=,S_△PEF=××=

∴V_B-PEF=·S_△PEF·d=V_P-BEF=,

∴d=1 d=

即点B到平面PEF的距离为。