Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出直线l的倾斜角，借助于抛物线的定义，利用平面几何知识求出直线倾斜角的余弦值，则可求正切值，直线的斜率可求；
（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，使得对任意的p，抛物线上总存在点Q，使得QA⊥QB，写出过M点，斜率为k的直线方程，和抛物线联立后，由判别式大于0得到k的一个取值范围，再由QA⊥QB，即

QA

•

QB

=0得三点Q，A，B的坐标的关系，进一步转化为Q点纵坐标的方程，再由判别式大于等于0求出k的取值范围，取交集后最终得到k的范围．

解答：解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=

5

4

d，
∴cosα=

d

|AM|

=

4

5

，则sinα=

1-cos2α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
∴k=±tanα=±

sinα

cosα

=±

3 5

4 5

=±

3

4

．
（Ⅱ）存在k，k的取值范围为[-

5

5

，0)∪(0，

5

5

]，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB．
事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，
设点Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y2=2px y=k(x+ p 2 )

，得ky²-2py+p²k=0．
则

k≠0 4p2-4k2p2＞0

，得：-1＜k＜1且k≠0．
y1+y2=

2p

k

，y1y2=p2．
又Q、A、B三点在抛物线上，所以x0=

y02

2p

，x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

则kQA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y02 2p - y12 2p

=

2p

y0+y1

．
同理kQB=

2p

y0+y2

．
由QA⊥QB得：

2p

y0+y1

•

2p

y0+y2

=-1，即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-4p2．
∴y02+

2p

k

+p2=-4p2，即ky02+2py0+5kp2=0．
△=4p²-20k²p²≥0，解得-

5

5

≤k≤

5

5

，又-1＜k＜1且k≠0．
所以k的取值范围为[-

5

5

，0)∪(0，

5

5

]．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解答的关键是利用直线和圆锥曲线相交转化为方程有根，再利用方程的判别式大于0（或大于等于0）求解．此题属有一定难度类型题．