Question

【题目】已知椭圆： 的左，右焦点分别为， ，离心率为， 是椭圆上的动点，当时， 的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线交椭圆于， 两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】试题分析：（1）设椭圆的半焦距为，根据离心率和在中余弦定理，列出方程，求得，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，求得则，利用弦长公式求得，在由点到直线的距离公式，求得点到直线的距离为，即可得到三角形面积的表达，再利用基本不等式，即可求解面积的最大值.

试题解析：

（1）设椭圆的半焦距为，

因为椭圆的离心率为，

所以.①

在中， ，由余弦定理，

得，

得，

得，

即，

所以.

因为的面积，

所以，即.②

又，③

由①②③，解得， ， .

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为， ， ，

联立

得，

由，得.

则， .

由弦长公式，得 .

又点到直线的距离为，

所以 .

令，则.

所以 ，

当且仅当，即， 时取等号.

所以面积的最大值为.