Question

已知函数f（x）=3sin（

x

2

+

π

4

）+3
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； 
（2）求出f（x）的最小正周期、单调增区间；
（3）说明此函数图象可由y=sinx的图象经怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； 
（2）根据三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小正周期、单调增区间；
（3）根据三角函数的图象之间的关系即可得到结论．

解答：解：（1）根据五点作图法进行取值．

x	- π 2	π 2	3π 2	5π 2	7π 2
x 2 + π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（ x 2 + π 4 ）	0	1	0	-1	0
3sin（ x 2 + π 4 ）+3	3	6	3	0	3

后描点并画图．
（2）三角函数的周期T=

2π

1 2

=4π，
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得
-

3π

2

+4kπ≤x≤

π

2

+4kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]，k∈Z．
（3）将y=sinx向左平移

π

4

个单位得到函数y=sin（x+

π

4

），然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数y=sin（

x

2

+

π

4

），然后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，
得到函数y=3sin（

x

2

+

π

4

），然后横坐标不变，纵坐标增加3，得到函数y=3sin（

x

2

+

π

4

）+3．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及利用五点法作三角函数的图象，综合性较强，涉及的知识点较多．