Question

已知函数f(x)=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值.

（1）讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.

Answer 1

解：(1)f′(x)=3ax²+2bx-3，依题意，f′(1)=f′(-1)=0，即

    解得a=1,b=0.

∴f(x)=x³-3x，f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1).

    令f′(x)=0，得x=-1,x=1.

    若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(-∞,-1)上是增函数，f(x)在(1,+∞)上是增函数.

    若x∈(-1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(-1,1)上是减函数.

∴f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值.

（2）曲线方程为y=x³-3x，点A(0,16)不在曲线上.设切点为M(x₀,y₀)，则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀.

    因f′(x₀)=3(x₀²-1)，故切线的方程为y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₀)，注意到点A(0,16)在切线上，故有16-(x₀³-3x₀)=3(x₀²-1)(0-x₀)，化简得x₀³=-8，解得x₀=-2.

∴切点为M(-2,-2)，切线方程为9x-y+16=0.