Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和Tn．

Answer 1

分析：（I）由题意已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），已知前n项和求通项；
（II）在（I）中求出数列a_n的通项，利用裂项相消法求和即可．

解答：解：（I）n≥2时，S_n=na_n-2n（n-1），∴S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2），
∴a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），则（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+4（n-1），
∴a_n=a_n-1+4∴{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，∴a_n=4n-3；
（II）

1

an•an+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴Tn=

1

4

[(1-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

4n-3

-

1

4n+1

)]=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

．

点评：此题考查了已知数列的前n项和求其通项，还考查了裂项相消法求出数列的前n项的和．