Question

已知函数f(x)=2^x-1的反函数为f^-1(x)，g(x)=log₄(3x+1)

(1)用定义证明f^-1(x)在定义域上的单调性；

(2)若f^-1(x)≤g(x)，求x的取值集合D；

(3)设函数H(x)=g(x)-f^-1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域．

Answer 1

(1)解：函数f(x)的值域为(-1，+∞)，

由y=2^x-1得x=log₂(y+1)，

所以f^-1(x)=log₂(x+1)(x＞-1)

任取-1＜x₁＜x₂，

f^-1(x₁)-f^-1(x₂)=log₂(x₁+1)-log₂(x₂+1)-log₂=

由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此0＜＜1得log₂＜0

所以f^-1(x₁)＜f^-1(x₂)故f^-1(x)在(-1，+∞)上为单调增函数．

(2)f^-1(x)≤g(x)即

log₂(x+1)≤log₄(3x+1)

解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]

(3)H(x)=g(x)-f^-1(x)=log₄(3x+1)-log₂(x+1)=

由0≤x≤1得1≤3-≤2，

所以0≤log₂(3-)≤ 

因此函数H(x)的值域为[0，].