题目内容

如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：法一：由题意，可得∠CED=∠AED-∠AEC，根据图象可得tan∠AED=1，tan∠AEC= $\text{[math]}$ ，从而有tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由三角函数的定义即可求出sin∠CED选出正确选项
法二：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；
法三：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦
解答：由题设及图知∠CED=∠AED-∠AEC，
又正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1
∴tan∠AED=1，tan∠AEC= $\text{[math]}$
∴tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由图知，可依EC所在直线为X轴，以垂直于EC的线向上的方向为Y轴建立坐标系，又∠CED锐角，由三角函数的定义知，∠CED终边一点的坐标为（3，1），此点到原点的距离是 $\text{[math]}$

故sin∠CED= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选B
法二：利用余弦定理
在△CED中，根据图形可求得ED= $\text{[math]}$ ，CE= $\text{[math]}$ ，
由余弦定理得cos∠CED= $\text{[math]}$ ，
∴sin∠CED= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选B
法三：在△CED中，根据图形可求得ED= $\text{[math]}$ ，CE= $\text{[math]}$ ，∠CDE=135°
由正弦定理得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
故选B
点评：本题考查任意角三角函数的定义及两角各与差的正切函数，解题的关键是根据图象求出tan∠CED，本题综合考查了正切的差角公式及三角函数的定义，综合性强，知识性强，题后要注意总结做题的规律