Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（x）取得极大值

2

3

，且函数y=f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设xn=

2n-1

2n

，ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ） 由f（x）为奇函数知 b=d=0…2′
又f′（-1）=0且f（-1）=

2

3

得

a= 1 3 c=-1

∴f（x）=

1

3

x3-x…4′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-1
∵xn=

2n-1

2n

=1-

1

2n

，(n∈N*)，

1

2

≤xn＜1…6′
因为当x∈[

1

2

，1)时，f′（x）=x²-1＜0，即函数f（x）在[

1

2

，1)上递减∴f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]…8′
又ym=

2 (1-3m)

3m

=

2

(

1

3m

-1)，(m∈N*)，-

2

＜

2

(

1

3n

-1)≤-

2 2

3

…10′
又因为当x∈(-

2

，-1)时，f′（x）=x²-1＞0，即函数f（x）在(-

2

，-1)上递增；
当x∈(-1，-

2 2

3

)时，f′（x）=x²-1＜0，即函数f（x）在(-1，-

2 2

3

)上递减
∵f(-

2

)=

1

3

•(-

2

)3+

2

=

2

3

，f(-

2 2

3

)=

1

3

(-

2 2

3

)3+

2 2

3

=

38 2

81

∴f(-

2

)＜f(-

2 2

3

)
∴f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，
即：f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]…12′
∴|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

…13′