Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）=x²．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是

1. A.
   [，+∞）
2. B.
   [，+∞）
3. C.
   （0，]
4. D.
   （-∞，-]u[，+∞）

Answer 1

A
分析：由f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）=x²可求得当x＜0时的解析式，又x∈[t，t+1]，分t+1≤0与t≥0两种情况讨论，从而将不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，转化为关于变量x的二次不等式在x∈[t，t+1]上的恒成立问题来解决．
解答：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）=x²
∴当x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=；
又对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，
∴当t+1＜0，即t＜-1，2t≤x+t≤2t+1＜-1，此时有：-（x+t）²≥-2x²①恒成立，x∈[t，t+1]．
①变形为：x²-2tx-t²≥0恒成立，x∈[t，t+1]．
令g（x）=x²-2tx-t²，其对称轴x=t，g（x）在[t，t+1]单调递增，g（x）_min=g（t）=-2t²＜0，故t＜-1，不满足题意；
当t＞0，0＜2t≤x+t≤2t+1，由任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，可得：（x+t）²≥2x²②，x∈[t，t+1]；
②变形为：x²-2tx-t²≤0恒成立，x∈[t，t+1]；令g（x）=x²-2tx-t²，其对称轴x=t，g（x）在[t，t+1]单调递增，要使x²-2tx-t²≤0恒成立，x∈[t，t+1]；只需
g（x）_max=g（t+1）=（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0，即1-2t²≤0，
解得：t≥．
综上所述：t≥．
故选A．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于得到函数解析式后的分类讨论，着重考查学生利用函数的性质解决恒成立问题，属于难题．