题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $数学公式$ =（2a，1）， $数学公式$ =（2b-c，cosC）且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函数式 $数学公式$ 的取值范围．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，∴2acosC=1×（2b-c），
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形内角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA= $\text{[math]}$
∵A是三角形内角，
∴A= $\text{[math]}$ ，得sinA= $\text{[math]}$ …（5分）
（II） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（2C- $\text{[math]}$ ），
∵A= $\text{[math]}$ ，得C∈（0， $\text{[math]}$ ），
∴2C- $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），可得- $\text{[math]}$ ＜sin（2C- $\text{[math]}$ ）≤1，
∴-1＜ $\text{[math]}$ sin（2C- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
即三角函数式 $\text{[math]}$ 的取值范围是（-1， $\text{[math]}$ ]． …（11分）
分析：（I）根据向量平行的充要条件列式：2b-c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA= $\text{[math]}$ ，从而得到sinA的值；
（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得 $\text{[math]}$ sin（2C- $\text{[math]}$ ），再根据A= $\text{[math]}$ 算出C的范围，得到sin（2C- $\text{[math]}$ ）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．
点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．