Question

1．已知f（x）=$\frac{x}{e^x}$，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*，经计算得：f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{e^x}$，那么f₃（x）=$\frac{3-x}{e^x}$
根据以上计算所得规律，可推出f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

Answer 1

分析 由已知中定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．结合f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{e^x}$，可得f₃（x），…，分析出f_n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{e^x}$，
∴f₃（x）=$\frac{3-x}{e^x}$，
由此归纳可得：f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．
故答案为：$\frac{3-x}{e^x}$；$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．