Question

已知函数（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）请问，是否存在实数使上恒成立？若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）存在，=1。

【解析】

试题分析：（1）1、求定义域，2、求导数，然后令导数等于0，解出导函数根，再由,得出的取值范围，则在此区间内单调递增，又由，得出的取值范围，则在此区间内单调递减；（2）对于恒成立问题，一般要求出函数在区间内的最大值或最小值。即恒成立，则，恒成立，则，本题要讨论的取值范围，再结合函数的单调性即可求解。

 

试题解析：（1） 2分

当时，恒成立，

则函数在上单调递增 4分

当时，由得

则在上单调递增，在上单调递减 6分

（2）存在． 7分

由（1）得：当时，函数在上单调递增

显然不成立；

当时，在上单调递增，在上单调递减

∴,

只需即可　 9分

令

则，

函数在上单调递减，在上单调递增．

∴， 10分

即对恒成立，

也就是对恒成立，

∴解得，

∴若在上恒成立，=1． 12分

考点：1、利用导数研究函数的单调性问题；2、不等式恒成立问题；3、分类讨论思想