Question

已知函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若f（x）-a²＞2a在x∈[0，

π

8

]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，合并后给前两项提取

2

后，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据f（x）的最小正周期及周期公式即可求出ω的值；
（Ⅱ）由正弦函数的单调递减区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）由f（x）-a²＞2a变形可得f（x）大于a²+2a，根据x的范围，利用正弦函数的单调性求出f（x）的最小值，由求出的最小值及不等式恒成立的条件即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1

=2• 1+cos2ωx 2 +sin2ωx+1 =sin2ωx+cos2ωx+2 = 2 (sin2ωxcos π 4 +cos2ωxsin π 4 )+2 = 2 sin(2ωx+ π 4 )+2

由函数f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
当

π

2

+2kπ≤4x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，即

π

16

+

kπ

2

≤x≤

5π

16

+

kπ

2

(k∈Z)时，
函数f（x）的单调递减区间为：[

π

16

+

kπ

2

，

5π

16

+

kπ

2

](k∈Z)；
（Ⅲ）∵f（x）-a²＞2a，
∴a²+2a＜f（x），
∵x∈[0，

π

8

]，即4x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

2

≤sin≤1，
∴f（x）有最小值为3，
由a²+2a＜f（x）恒成立，得a²+2a＜3，
∴-3＜a＜1
实数a的取值范围是（-3，1）．

点评：此题考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的单调性以及三角形的最值，其中利用三角函数的恒等变形把f（x）化为一个角的正弦函数，进而求出ω，确定出f（x）的解析式是本题的突破点，同时第三问的难点在于理解不等式恒成立满足的条件，要使a²+2a＜f（x）恒成立，即要求出f（x）的最小值，然后让最小值大于a²+2a．