Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）若a＞2，讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知a=1，g（x）=2f（x）+x³，若数列{a_n}的前n项和为S_n=g（n），证明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

3

（n≥2，n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数的单调区间，注意极值点大小的比较；
（2）把a=1代入f（x）再代入g（x），利用公式a_n=s_n-s_n-1，求出a_n的通项的公式，再利用放缩法进行证明；

解答：解：（1）函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
根据对数函数的性质，可得x＞0，
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
∵a＞2，∴a-1＞1，
则f（x）在（1，a-1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数；
f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
（2）已知a=1，可得f（x）=

1

2

x²-x，∵g（x）=2f（x）+x³=x³+x²-2x，
∵数列{a_n}的前n项和为S_n=g（n），
∴S_n=g（n）=n³+n²-2n，∵a_n=s_n-s_n-1，（n≥2）
∴a_n=n³+n²-2n-[（n-1）³+（n-1）²-2（n-1）]=3n²-n-2，
∴a_n=

3n2-n-2(n＞2) 0                  (n=1)

，
∴a_n=3n²-n-2，

1

an

=

1

(3n+2)(n-1)

＜

1

3n(n-1)

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

3

[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]=

1

3

（1-

1

n

）＜

1

3

点评：此题主要考查函数的单调性与其单调性的证明，导数是研究函数的最好的工具，第二问难度有些大，主要是求出数列的通项公式，是一道基础题；