Question

已知圆C：（x-1）²+(y-2)²=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

Answer 1

（1）证明略（2）2x-y=5

解析:

（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.

两方程联立，解得交点为（3，1），

又有（3-1）²+（1-2）²=5＜25,

∴点（3，1）在圆内部，

∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得

|AB|=2=

此时，k_t=-,从而k_t=-=2.

∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.