Question

已知函数f(x)=

x-b

x-1

，它的图象过点（2，-1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式：f(x)•

x-k

x-1

＜0、

Answer 1

分析：（1）把点的坐标代入函数解析式求出待定系数，从而得到函数解析式．
（2）将不等式进行等价转化为一元二次不等式组，分类讨论解得情况，最后把各种情况得到的解集取并集．

解答：解：（1）依题意函数f（x）过点（2，-1），有-1=

2-b

2-1

，解得b=3．
故f(x)=

x-3

x-1

．（4分）
（2）由

x-3

x-1

•

x-k

x-1

＜0，得

(x-3)(x-k)

(x-1)2

＜0．
原不等式等价于

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

（6分）
当k＞3时，

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

?3＜x＜k.（8分）
当1＜k＜3时，

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

?k＜x＜3.（10分）
当k=3时，

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

此时不等式组无解（12分）
所以，当k＞3时，不等式的解集为{x|3＜x＜k}；
当1＜k＜3时，不等式的解集为{x|k＜x＜3}；
当k=3时，不等式的解集为空集．（13分）

点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，把分式不等式进行进行等价转化为一元二次不等式组来解，体现等价转化和分类讨论的数学思想．