Question

已知f(x)=4cosxcos(x-

π

3

)-2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间即可确定出f（x）的单调递增区间；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大与最小值．

解答：解：（1）f（x）=4cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）-2=

3

sin2x+2cos²x-2=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）-1，
当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z时，f（x）单调递增，
则f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
由正弦函数的性质可知，
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值，最大值为f（

π

6

）=1；
当2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

时，f（x）取得最小值，最小值为f（-

π

4

）=-

3

-1；
则f（x）的最大值为1，最小值为-

3

-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域和值域，熟练掌握公式是解本题的关键．