Question

设f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）（m∈R）
（1）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≤0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），ln（x+1）≤x．当m=-1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x²-2x，f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由题意得：f（0）=0，f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx≤x+（1+2m）+2mx=（1+2m）（x+1）．由此进行分类讲座能得到所求的m的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），
令p（x）=ln（x+1）-x，
p′(x)= 

1

x+1

-1，
当x∈（-1，0）时，p′（x）＞0；当x∈（0，1）时，p′（x）＜0，
∴当x=0时，p（x）取最大值p（0）=ln1-0=0，
∴p（x）=ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．
当m=-1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x²-2x，
则f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0
∴f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）．
（2）由题意得：f（0）=0，
f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx
≤x+（1+2m）+2mx
=（1+2m）（x+1）．
若m≤-

1

2

，x≥0时，f′（x）≤0，
即f（x）在[0，+∞）上是减函数，
故此时f（x）≤f（0）=0恒成立．
若-

1

2

＜m＜0，x≥0时，
设g（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx，
则g′(x)=

1

x+1

+2m，
由g′(x)=

1

x+1

+2m＞0，得x＜-

1+2m

2m

；
由g′(x)=

1

x+1

+2m＜0，得x＞-

1+2m

2m

．
∴g（x）在（0，-

1+2m

2m

）上递增，在（-

1+2m

2m

，+∞）上递减，
∴当x∈(0，-

1+2m

2m

)时，f′（x）=g（x）＞g（0）=1+2m＞0，
故此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
若m≥0，x≥0时，
f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）≥（x+1）ln（x+1）≥0，不符合题意．
综上所述：所求的m的取值范围是m≤-

1

2

．

点评：本题考查函数的单调区间的求法和求实数m的取值范围，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．易错点是分类不清导致出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类求解．