Question

数列{a_n}的通项公式an=(n+1)2（n∈N*），f(n)=(1-

1

a1

)•(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)，试通过计算f（1），f（2），f（3），…的值，推测出f（n）的表达式为

n+2

2n+2

．

Answer 1

分析：根据数列{a_n}的通项公式an=(n+1)2（n∈N*），计算出a₁，a₂，a₃，然后计算f（1），f（2），f（3）的值，然后利用归纳推理得到结论．

解答：解：∵数列{a_n}的通项公式an=(n+1)2（n∈N*），
∴a₁=4，a₂=9．a₃=16，
∵f(n)=(1-

1

a1

)•(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)，
∴f（1）=1-

1

a1

=1-

1

4

=

3

4

，
f（2）=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)=

3

4

×(1-

1

9

)=

3

4

×

8

9

=

2

3

=

4

6

，
f（3）=

3

4

×

8

9

×(1-

1

16

)=

3

4

×

8

9

×

15

16

=

5

8

，
∴由归纳推理可推测出f（n）的表达式为：

n+2

2n+2

，
故答案为：

n+2

2n+2

．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用数列的通项公式计算出f（1），f（2），f（3）的值，即可得到规律．