Question

【题目】已知函数.

（1）若是的极值点，求a的值及的单调区间；

（2）若对任意，不等式成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单减，在上单增. （2）

【解析】

（1）求导，由，求出的值，代回，分析单调性以及，求出的解，即可得出结论；

（2）注意，若在为增函数，不等式恒成立，若在为减函数，则不等式不恒成立，将问题转化为研究在上的单调性，求出，对分类讨论，求出在正负情况，即可求出的取值范围.

解：（1）

，

显然在上单调递增，

又，

所以当时，，

当时，，

故在上单减，在上单增.

（2），

当时，，在上单增，

则，满足题意；

当时，，

在上单调递增，，

①若，则，在上单增，

则，满足题意；

②若，则，

故必存在使得，

从而在上单减，在上单增，

，与题意矛盾；

综上所述，.